数学の問題で　｜x^2-2x｜＜x+2　を解くやつで　⇔　-(x+2)＜x^2-2x＜x+2　ってやっていいの？ ->画像>3枚

普通は場合分けだけどな

やってどうすんの

それわざわざ聞くやつはその変形を公式でしか覚えてなくて本質的な意味を理解してない
ちなみにx+2≧0含めて同値だから
テキトーに同値使うやつも同上

そういう風にするとxがどの範囲でも
-(x+2)＜x^2-2x＜x+2 が成立するとなってしまう
x^2-2x＜x+2 は x<0,2<x の時だけ
-(x+2)＜x^2-2x は 0<x<2 の時だけ
しか成立しない だから場合分けをする

あとは、 -(x+2)＜x^2-2x＜x+2 は
x^2-2x＜x+2 と -(x+2)＜x^2-2x の共通範囲という意味だからそこも違う
絶対値の場合分けの答えはそれぞれの場合分けの答えの和集合
x<0,2<x と 0<x<2 は同時に成り立たないから共通範囲というようにできない

>>4
不等号にイコールいれるの忘れてたわ
すまんこ

>>4
1行目の意味がわからない

やっても良い場合と、場合分けしないとだめなのがある
見分け方は〜ってのが
はじていか、やさ高か合格る計算に載ってた
どれだかは覚えてない

連なる不等式の両端の
-(x+2)＜x+2
の関係自体が成立する範囲としない範囲があるね

>>3
ん？>> 1の変形の場合そのx+2≧0は要らなくない？
それ無理不等式を両辺二乗する時とかそういう話じゃない？
絶対値の不等式で|A|<Bは無条件に-B<A<Bであることが必要十分では？

>>4
お前もおかしい
3行目の解は (3-√17)/2 <= x <= (3+√17)/2
だし、4行目に至ってはその式平方完成したらわかるけど任意のxで成り立つじゃねーか
その二つの解から普通に答え出るじゃん

まとめとしては>>1, 無条件に|A|<Bのとき-B<A<Bってしてええぞ
変数入ってても同様
ただし解くのがめんどくさくなるかもしれんから場合分けするかこの変形するかはちゃんと選べ

>>8
X<Y<Zっていう不等式は
(X<Y) かつ (Y<Z)って意味やで

やっていいのか
やったことなかったからダメだと思ってたな
ありがとう

>>12
ちなみに俺の参考書には今見たらこんなこと書いてあったわ

｜ｘー1｜＋ 2｜ｘー3｜＜ 11
みたいなやつは場合わけしないといけないんだよね
完全理解せずに場合分け万能説で済ませちゃってた感じだな

無条件に|A|<Bのとき-B<A<Bってしていいってのが
気分的にはまだしっくり来てないけど
腑に落ちるまで考えてみようと思う

その後の考察としては…

|A|<Bのとき-B<A<B
ってやった上で
「X<Y<Zっていう不等式は(X<Y) かつ (Y<Z)って意味やで 」
というように解く2つの不等式は、
場合分けで解く2つの不等式と結局同じ不等式になるという点は納得

しっくりこない理由は
-(x+2)＜x^2-2x＜x+2
の形が「X<Y<Zっていう不等式は(X<Y) かつ (Y<Z)って意味やで 」という捉え方よりも
変域・範囲を表す不等式の形として馴染みがあり
-(x+2)とx+2の大小関係が決定しておらず、
かつ入れ替わる境目が元の不等式の絶対値の境目と一致しないので、
「こんな式作っていいの？」「この式は何が言いたい式なの？」って気分になる

ってことで、現時点ではまだ完全にはすっきりしていない状況

ああ
｜x^2-2x｜＜x+2 の時点で
x+2>=0だからいいのか

>>16
成る程ね
-(x+2)とx+2の大小関係はxの値に依存するから変域を表す不等号に慣れてたら何が言いたいかわからないよね
(本当は変域とかを表す時は集合A={x|0<x<2} みたいに表現するのが正しいんだけど慣例で不等号だけを使って表現される)
グラフ書けばわかりやすいかも


「この式は何が言いたいの？」というのはつまり
このx>=-2において、放物線が二直線の間に挟まれてるxの範囲ってこと

気持ちはわかるんだ
普通2つ不等号を使う不等式って変域を表すよね
だから奇妙に見える

>>17
あれ？
でも　>>9を読むとそういうことではないってことなのかな？

多分x<-2の時に、不等式が3<x<-2みたいな気持ち悪い不等式なるから違和感があるみたいな感じ？
それなら大丈夫
例えば3<x<-2だと同値変形するとそもそも解無しになるからね

すまんが君がどういう点を受け入れられないかわからない

わかった
じゃあ表現を変えてみよう
これまでのA<x<Bって表現は変域を表すものって固定概念があるなら当該の絶対値不等式の同値表現は別の表現を使おう
例えば|x|<y だと、x<yかつ-y<x

>>13
わかりにくすぎてワロえない
その同値記号の式別のところで説明されてるんか？

|A|<Bのとき-B<A<B ってやったあとのことは納得できるけど
B>0を前提とせずに
|A|<Bのとき-B<A<B ってやっていいという感覚がすっきりしないのかな？

>>24
>>13の画像の文章で説明されてる

画像は見ないことに決めてるんで申し訳ない

>>23
ええ…何でだよ
|A|<=BでB>=0ならA<=Bかつ-B<=Aなのは絶対値の定義から自明だろ？
B<0なら例えA<=Bかつ-B<=Aってのが払い出されても結局解無しだからって話だけど
これわからんのは流石にキツイわ

>>26
文字起こしするわ

|x|<a ⇔ -a<x<a
左側の不等式を満たす実数xが存在するためには、a>0でなければなりませんが、この同値関係を使う時はそれを気にしなくてよい
a<=0とすると、右側の不等式を満たす実数xも存在しないから

たぶん自分は「同値」をちゃんとわかっていないな

あ、でも
>>28
をしばらく眺めてたら納得できてきた気がするな
左がおかしくなるのはa<=0のときで
右がおかしくなるのもa<=0のときで
そこは必ず一致するから言及しなくてOKって感じで納得したけど
そういう理解ではマズイかな？

文字起こしまでしてくれてありがとう！

式を論理的にいじくるのって、わりと上級者向けよ

|A|<B⇔-B<A<B件は
AB平面上で|A|<Bとなる領域と-B<A<Bなる領域が一致するの確認する方が分りやすいし
スレタイの問題の件は
>>18のほうが分かりやすい

>>13
総合的研究好き

教科書にはcは正の定数とか書いてたけど変数でもいいんだな。
気になってたから助かった。

参考に
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/46/46-10.pdf
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/86/86-5.pdf

マジレスすると、x+2<0の場合は
|x^2-2x|＜x+2 も、 -(x+2)＜x^2-2x＜x+2 の真ん中を除いた-(x+2)＜x+2も解無しになるから分けなくていい、つまり
|x^2-2x|＜x+2 と -(x+2)＜x^2-2x＜x+2 は同値

>>34
参考になる

でもやっぱ使うのやめとこうかな

>>30 のときもちょっと疑問に思っていたんだけど

|x|<a という不等式（aはxの式）を与えられた立場として
この時a>0は自明なの？
なんというか暗黙にa>0という変域（すなわち何かしらのxの変域）が与えられて
そのxの範囲でだけ不等式を考えることになるのか
それともa<=0も考慮して不等式をとき「その範囲では解なし」みたいに考えるのか
ってことなんけど

まあ、これは-a<x<a という不等式についても
-a<aは自明ってこと？（すなわちa>0は自明なの？）
ってなって、同様に変域がある前提になるのか
変域はなくて、>>28 のように
「a<=0とすると、右側の不等式を満たす実数xも存在しない」ということを検証する必要があるのか
という疑問が出てくる

この辺りはどういうことになっているの？

A,B使った方が良さそうなので書き直し

|A|<B という不等式（A,Bはそれぞれxの式）を与えられた立場として
この時B>0は自明なの？
なんというか暗黙にB>0という変域（すなわち何かしらのxの変域）が与えられて
そのxの範囲でだけ不等式を考えることになるのか
それともB<=0も考慮して不等式をとき「その範囲では解なし」みたいに考えるのか
ってことなんけど

まあ、これは-B<A<B という不等式についても
-B<Bは自明ってこと？（すなわちB>0は自明なの？）
ってなって、同様に変域がある前提になるのか
変域はなくて、>>28 のように
「a<=0とすると、右側の不等式を満たす実数xも存在しない」に相当することを検証する必要があるのか
という疑問が出てくる

この辺りはどういうことになっているの？

|x|<a という不等式を満たすxってのは
a>0を満たす集合をA
-a<x<aを満たす集合をBとすると
AかつBや

ところが、（Aでない）かつBってのは空集合だから　
（AかつB）=Bになるんや

要は、「どちらも自明で変域が存在する前提」または「どちらも変域はない前提」
ならそのままで同値に納得できるが、
「一方は暗黙の変域がある前提で一方は変域がある前提とはなっていない」となると
変域について言及しないと同値にならないのかな？と感じる
それでも「そこは気にする必要がない」となっているのならそうなのかと思うしかないが

もう多分表現の問題だろう
俺はお前に間違えたことを教えたわ
|A|<Bは同値変形するとB>AかつA>-Bな
改めるわ

集合での納得はとりあえず置いておいて

|A|<B という不等式に暗黙の変域があるのかないのか
（例えばx/yという分数を与えられた時点でy=0でないという変域があることになっていると思うけど
　そういう感じなのかというルール的なこと）を確認したい状況ですね

-B<A<Bについても

暗黙の変域などない。実数全体
-B<A<BのときB>0は自明
受験の相場として、いきなり|A|<Bは同値変形するとB>AかつA>-Bとするのはおｋ

|A|<Bは同値変形するとB>AかつA>-Bってのの適用条件として
B>0ってのはある

まずは言葉覚えよう
何でもかんでも「変域」って言わずに「定義域」と「値域」を使い分けよう
>>39
「この時B>0は自明なの？」についてだけど自明じゃないよ
Bが負の値を取るとき-B<A<Bが意味不明なんだよな
まずはよく使う「X<Y<Z」って表現や「x<1, 3<x」って表現が何を意味するかってことを考えてくれ
前者は「X<Y かつ Y<Z」...(1)で後者は「x<1 または 3<x」
ここで前者について、X<Zは正しいか考えなくていいの？って話だけど
結論から言うと考えなくていいけど、考えるとしたらどうなるかっていうと
X<Zが真であるときはもういいよな
X<Zじゃないとき、(1)はそもそも解無しじゃん

ここまで書いたけど俺も何言ってるかわかんなくなってきたわ
ちなみに上の数研のページは見たか？

>>45
ん？B<=0でもその同値変形して良くない？
無条件に脳死で変形してOKでしょ
だって結局解無しって結果になるんだし
(まあ答案にはちょっと但し書きは必要かもしれんが)

いや、状況として同じだなとは納得しているけど

ルール的にどちらかにだけ変域があるとしたら
そのままで同値とは言えない気がして質問させてもらった状況ですね

>>17で
｜x^2-2x｜＜x+2 の時点で
x+2>=0だからいいのか

と思ってしまった自分がいたわけで
要は、これはこのようには決まっていないということですね？

x+2>=0ではなくてx+2>0ですね

>>47
あーそのとおりやな

ワイが勝手に
「|A|<Bは同値変形するとB>AかつA>-Bなのを証明しろ」
に改題してたのが悪いんや

>>34
上の記事になにげに古川昭夫の名前あるな
下の記事の作者はある不等式の証明もスマートにやってた

現状としては
一度、上での変域の話を忘れて
y=|A|, y=A, y=B, y=-B のグラフを
それぞれ適当に何度もｘ軸と交わりつつ蛇行する感じで
|A|, A, B, -B の上下関係が適度に複数回入れ替わるように曲線として描いてみた

y=|A|は y=Aのｘ軸より下にはみ出した部分だけを折り返したグラフで
y=B,とy=-Bは全域にわたって上下対象となるグラフである

|A|<B <=> -B<A<B(-B<AかつA<B)
の確認については
|A|<Bを満たす範囲は、y=|A|のグラフより y=Bのグラフが上になっている部分
-B<A<Bを満たす範囲は、 y=B, y=-Bのグラフの間にy=Aが存在している部分
として確認したところ両者の範囲は一致することが確かめられた
全ての範囲について確認できないので証明とはならないと思うが
自分が実感として納得できたと感じた

|A|>B <=> A<-B または B<A
についても
|A|>Bを満たす範囲は、y=|A|のグラフより y=Bのグラフが下になっている部分
A<-B または B<Aを満たす範囲は y=B, y=-Bのグラフの間にy=Aが存在しない部分
として確認するとやはり一致することが確認できた

この確認方法での印象は、細かいことを考えなくても同値性が確認できるような印象だった
ただ、グラフを正しく描く行為の中に数式をそのまま扱う際の注意点が含まれているのかな？とも思った
実際のところはわからないが

同値性をいう時に「x+2>0」に言及する必要性の有無については
スレのやりとりから「この変域のなかで不等式を考える」ということではないらしいのと
実際自分が不等式を解くときもここをチェックしたことはないので
言及の必要はないのかなというところで今のところ納得しつつあります

ただ、本件で着目しないとしても
｜x^2-2x｜＜x+2 の時点で
x+2>0 だとは言える気がしますが
何かしらの証明等に使っていっていいのかは引き続き気になっています

別にやっていいしやって駄目な場合なんてないだろ

それはつまり｜x^2-2x｜＜x+2 の不等式は
与えられた時点で x+2>0 の範囲でしか考えない前提だが
それを意識しないで解いてもどうせその範囲に収まるからチェックしていないだけ
という意味になりますか？

お前は何を言ってるんだ？

すいません
「別にやっていいしやって駄目な場合なんてないだろ」
の「やる」は何をさされていますか？

>>57
スレタイの同値変形の事だよ

勘違いでした
申し訳ないです
スルーしてください

例えば｜x^2-2x｜＜x+2 が与えられた時点で x+2>0 がいちいち言わなくても
決定してしまうのであれば
>>52 におけるグラフも
|A|<B を検証するさいには x+2>0 の範囲だけで描くべきなのかということも
まだ実は引っかかってるね？

で、 -B<A<B(-B<AかつA<B) を検証する際もまたどうなんだろうと思うね？

あ、この場合の当然グラフは>>52のようなグネグネした曲線の絡みあいではなく
直線と放物線（の一部折り返し）になって
x+2>0 の範囲だけで描いても解には影響しないですが

なんかお前勘違いしてる気がする
「それはつまり｜x^2-2x｜＜x+2 の不等式は
与えられた時点で x+2>0 の範囲でしか考えない前提だが」
→ちげーよなんでそうなる
x+2<0の時もあるじゃん
でもx+2<0の時は｜x^2-2x｜＜x+2 は解無しだろ？
だから結局は「考えなくていい」んだよ
考えない前提で問題出されると思ったら大間違いだぞ

ちげーかもしれないとは思ってます

0 <=｜x^2-2x｜が明らかなので
｜x^2-2x｜＜x+2 と定めた時点で
0 < x+2 が決定していると考えなければいけないのかな？
みたいに思ったわけです

ｘが満たしていなければいけない条件の一つ
みたいなイメージでしょうか

で、本件で触れなくていいとしても
逆に使いたい時にこのことを使っていいのか？
という疑問もあります

現実的な対応としては
質問者さんには使いこなせないから
使わない方向で考えたらいい思うで
使わなくてもあんまり困らんし

>>66
辛辣で草

まあでも確かに使わなくてもあんまり困らないのは同意
しかし納得できない点を(受験に有用ではないとしても)納得できないままでいるのはあんまり良くないでしょ
質問者さんは一回先生とかちゃんと信頼できる相手に付き合ってもらえ

>>52
今見直すと
この時描いたグラフはB（と-B）があまり蛇行しておらず
Bがｘ軸より下に行くことがあまりないグラフでした
（対象な-Bのグラフがその分下にあることが多いことで十分な気になっていました）
このときはおかしい部分が見つかりませんでした

今改めてもっと何回も蛇行しBがｘ軸の下に行くことが多いグラフを描いて再考してみました
すると、
|A|<Bを満たす範囲は、y=|A|のグラフより y=Bのグラフが上になっている部分
-B<A<Bを満たす範囲は、 y=B, y=-Bのグラフの間にy=Aが存在している部分
を確認した際に前者の部分以外にも後者を満たす部分が出てきました。
それはBのグラフがｘ軸よりも下にある部分です

やはり|A|<Bと定めた時点でB<0となるような範囲は除外して考えないといけないような気がしてきています

また時間を見て確かめ直したいと思います

ああ、グラフの読み方を間違っていました
ややこしい
Bがｘ軸の下に行くところでは不等式を満たす部分がないようです
みなさんがおっしゃることと合致するようです
また落ちいついて考え直します

たかが高校数学で要求されてもないのにわざわざ同値変形する意味がない
ただの式変形に同値記号使うやつはよくわかってないやつがほとんどで予備校・大学・よくできた問題集の解答はどれも式を縦に並べているだけ
使うのは勝手だが答案に使えるようにする必要はない
軌跡とか領域の同値性が重要なやつは適度に使うほうが答案書きやすいけどその場合も普通は「〜が存在する」とか日本語を合わせるのが普通
今回の場合も「|x^2-2x|<x+2」⇔・・・みたいに式だけで続けるから分からなくなるしそもそも同値記号は命題に対して使うものだから、どうしても使いたいなら「x+2>0のもとで|x^2-2x|<x+2が成り立つ」⇔・・・と書くべき
答案を簡潔にまとめたいならグラフかいて上下関係調べるだけでいいし

読み方を間違ったと書きましたが

-B<A<Bを満たす範囲は、 y=B, y=-Bのグラフの間にy=Aが存在している部分

のが言えるのはBがｘ軸の上にある時で、下にあるときはそうではないです
下にある時は-B<A<Bにはなりえないということです

>>71
「x+2>0のもとで|x^2-2x|<x+2が成り立つ」⇔・・・と書くべき

この立場の方が少ないように思われる中
貴重なご意見と感じます
自分はこちらがしっくりきますが
反論などがあるのか見守りたいです

>>70
でした

>>72
見守らなくても70が理解できたなら解決
補足しておくと、式と式を同値記号で結ぶときは"が成り立つ"は省略されているとみなすのは暗黙のルールとしていいと思う
今回は「(問題の不等式)が成り立つ」を結ぶときにx+2>0という条件を省略しているとみなすのか書かなければいけないのかという議論で、それは人によるからここの人たちの議論は無駄であって、人によって解釈が変わる表現は答案に書くべきではないと言いたかった

高校数学の現状として「人によって解釈が変わる」のですね
わかりました

場合分けがいいと思いました

xが定数ならいいけど「x+2>0が成り立つ」はどういう命題だと思ってんだ

命題と条件を混同してるね

>>52
このグラフを使う確認法で
xの全域に渡っては確認してないですが
A, |A|, B, -B の上下関係の全パターンを網羅して同値性を確認したことで
同値性を証明したことになりませんかね？

結局Bと-BとX軸の位置関係が
・B＞X＞-B
・-B＞X＞B
・X=B=-B
の3パターンあって、そこにAと|A|を割り込ませる感じでパターンを考えると
以下の17パターンで全部じゃないでしょうかね？
それぞれ左から
|A|<B， -B<AかつA<B， |A|＞B， A<-BまたはB<A
の成立・不成立を調べたものです

(１) A=|A| > B > X > -B 不 不 成 成
(２) B=A=|A| > X > -B 不 不 不 不
(３) B > A=|A| > X > -B 成 成 不 不
(４) B > X=A=|A| > -B 成 成 不 不
(５) B > |A| > X > A > -B 成 成 不 不
(６) B=|A| > X > -B=A 不 不 不 不
(７) |A| > B > X > -B > A 不 不 成 成
(８) A=|A| > -B > X > B 不 不 成 成
(９) -B=A=|A| > X > B 不 不 成 成
(10) -B > A=|A| > X > B 不 不 成 成
(11) -B > X=A=|A| > B 不 不 成 成
(12) -B > |A| > X > A > B 不 不 成 成
(13) -B=|A| > X > B=A 不 不 成 成
(14) |A| > -B > X > B > A 不 不 成 成
(15) A=|A| > X=B=-B 不 不 成 成
(16) X=B=-B=A=|A| 不 不 不 不
(17) |A| > X=B=-B > A 不 不 成 成

また関数y=A, y=|A|, y=B, y=-B が連続であってもなくても
任意のxにおいて対応するそれぞれの関数の値の大小関係は上のどれかに当てはまると思いますね

こういう説明って「証明」にはなりませんかね？

X軸とかXとかが説明不足かもしれないので補足しますと
(１)から(17)までの不等式は
グラフの上下関係を意味していて、大きい側が上です
この不等式内で、x軸のことをXと書き表そうと思いつつ
「X軸」という中途半端な表現になってしまいました

もし通用するなら
「ひょっこり阪」方式と呼びたいなあ

グラフがひょっこり反対側に折り返す感じとマッチするかなと

何についての話か良く分らんくなってきたけど、
スレタイ問題に関しては
y=x+2のグラフがy=|x^2-2x|のグラフより上にあるxってどれよ？ってだけの話やで

同値性がわかりやすく確認されていないから
こういう話題になるんかと思ったよ

そもそも高校数学で同値記号なんて使わなくてもいいし

同値変形をするか・しないか・するべきか・しないべきかどうかと
同値性がいえるのかどうか（そしてそれが納得できる・しやすいかどうか）は
また別の話ではあるよな

>>84
使わなくても同値かどうか理解することは必要だぞ